MAKALAH
STATISTIKA DASAR
Distribusi Binomial, Poisson,
Normal dan Apikasinya
Disusun Oleh:
KELOMPOK
12
Nur
Amalia Susanti (06081181520025)
Rani
S. S. Silitonga (06081181520079)
Renni
Juli Yanna (06081181520076)
Dosen Pengampu :
Prof.Dr. Ratu
Ilma Indra Putri, M.Si (196908141993022001)
Puji Astuti, S.Pd.,M.Sc
PENDIDIKAN
MATEMATIKA
FAKULTAS
KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS
SRIWIJAYA
2015/2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur
kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmatnya,
sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Penulisan makalah
mengenai Distribusi Binomial, Poisson, Normal dan Apikasinya ini
kami buat dimaksudkan untuk melengkapi tugas mata kuliah Statistika Dasar. Yang
mana isi makalah ini kami ambil dari beberapa buku dengan sumber yang ada dan
kami anggap relevan.
Kami menyadari
bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, karena masih banyak kekurangan baik
dari isi maupun dari segi penulisannya. Oleh karena itu, kritik dan saran yang
mengarah pada perbaikan makalah ini sangat kami harapkan. Dan semoga makalah
ini dapat bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu
pengetahuan bagi kita semua.
Inderalaya, 17 Oktober 2016
Penyusun
DAFTAR ISI
DISTRIBUSI BINOMIAL
A. PENGERTIAN DISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses
Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi
Binomial merupakan distribusi peubah acak diskrit. Adapun di sisi lain, suatu
percobaan binomial dan hasilnya memberikan distribusi peluang khusus yang
disebut sebagai distribusi binomial. Hasil-hasil percobaan binomial dan
peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi
binomial.
B. PERCOBAAN BINOMIAL (DISTRIBUSI BINOMIAL)
Secara langsung, percobaan binomial memiliki
ciri-ciri sebagai berikut:
a. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali
b. Masing-masing
percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh
dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut
dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.
c. Hasil dari
masing-masing percobaan haruslah saling bebas.
d. Peluang
untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.
Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali
diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban
benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang
sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan
diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal.
Besarnya
nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan
oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan q[3]. Rumus distribusi
peluang Binomial:
Keterangan : p = probabilitas
sukses = 1 – q. Dimana
q =
probabilitas gagal
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan. Dimana x = 1, 2, 3, ..., n
Contoh :
Suatu survei menemukan
bahwa satu dari lima orang berkata bahwa dia telah mengunjungi dokter dalam
sembarang bulan yang ditanyakan. Jika 10 orang dipilih secara acak, berapakah
peluang tiga diantaranya sudah mengunjungi dokter bulan lalu?
Pembahasan :
Pada kasus ini, n
= 10, X = 3, p = 1/5, dan q = 4/5. Sehingga,
Jadi peluang tiga orang yang
dipilih sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalah 0,201.
C. RATA-RATA, VARIANS, DAN SIMPANGAN BAKU UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL
Rata-rata,
varians, dan simpangan baku variabel yang memiliki distribusi binomial secara
berturut-turut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
MEAN
(RATA-RATA)
μ = n ∙ p
VARIANS
= n ∙ p ∙ q
SIMPANGAN BAKU (DEVIASI STANDAR)
=
Rumus-rumus tersebut secara aljabar ekuivalen dengan rumus-rumus untuk
rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel distribusi peluang, tetapi
karena variabel-variabel tersebut memiliki distribusi binomial, maka
variabel-variabel tersebut dapat disederhanakan dengan menggunakan aljabar.
Contoh
1 :
Suatu koin
dilemparkan sebanyak 4 kali. Tentukan rata-rata, varians, dan simpangan baku
dari banyaknya angka yang muncul!
Penyelesaian 1 :
Dengan
menggunakan rumus distibusi binomial
n = 4
p = ½
q = ½ maka
·
Rata-rata
μ = n ∙ p = 4 ∙ ½ = 2
·
Varians
= n ∙ p ∙ q = 4 ∙ ½ ∙ ½ = 1
·
Simpangan baku
=
=
=
= 1
Jadi, ketika empat koin dilemparkan beberapa kali, rata-rata banyaknya angka yang
muncul adalah 2, dan simpangan bakunya adalah 1.
Seperti yang
telah dinyatakan sebelumnya, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan
menggunakan rumus untuk nilai yang diharapkan. Distribusinya ditunjukkan oleh
tabel berikut.
|
Banyak angka yang muncul X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Peluang P(X)
|
1/16
|
4/16
|
6/16
|
4/16
|
1/16
|
Rata-rata,
varians, dan simpangan bakunya dapat ditentukan sebagai berikut.
Jadi, rumus
binomial yang sudah disederhanakan memberikan hasil yang sama.
D. PROBABILITAS BINOMIAL KUMULATIF
Probabilitas binomial kumulatif
adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.
Rumusnya:
Contoh
:
Sebanyak
5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas
kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitasnya!
a.
Paling banyak 2 orang lulus
b.
Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang
c.
Paling sedikit 4 diantaranya lulus
Penyelesaian :
a.
n = 5 p = 0,7 q = 0,3
P(x
2) = P(x = 0)
+ P(x = 1) + P (x = 2) = 0,16
b.
P(2
x
3) = P(x = 2)
+ P(x = 3) = 0,44
c.
P(x
4) = P(x = 4) + P(x = 5) = 0,53
DISTRIBUSI POISSON
A. PENGERTIAN DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson adalah percobaan yang
menghasilkan nilai numerik pada suatu variabel acak x, jumlah keluaran yang
terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau di dalam suatu daerah
(ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan Poisson, sehingga sebuah
percobaan Poisson dapat memunculkan pengamatan untuk peubah acak x.
Ciri-ciri distribusi poisson yakni sebagai berikut.
a. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat
tidak tergantung dari hasil percobaan diselang waktu dan tempat yang lain yang terpisah.
b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding
dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku
hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.
c.
Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang
waktu yang singkat dan luasan tempat yang sama diabaikan.
Distribusi Poisson menggambarkan probabilitas pada
peristiwa acak (random) yang akan terjadi pada jeda (interval) waktu atau ruang
dengan kondisi probabilitas sangat kecil, meskipun jumlah percobaan yang
dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti. Adapun proses dari distribusi
Poisson yaitu:
- Percobaan Bernoulli menghasilkan variabel random x yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.
- Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random x adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu.
- Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses Poisson.
B. PERCOBAAN DISTRIBUSI POISSON
X adalah jumlah panggilan telepon pada kantor tertentu dalam satu jam. X
adalah variabel acak dan fungsi kepekatannya akan seperti berikut:
, (k = 1,2,3,...)
Variabel acak dengan distribusi seperti ini disebut
variabel acak poisson. (Lambang adalah huruf Yunani lambda, dimana biasa
digunakan sebagai parameter distribusi poisson,dan e mewakili bilangan
matematika tertentu yang nilainya kira-kira 2.72828).
Contoh :
Suatu penelitian telah menentukan bahwa jumlah
panggilan telepon setiap jam di kantor dapat diwakilkan oleh variabel acak poisson dengan
parameter = 5. Tentukan probabilitas dari X!
Penyelesaian :
|
k
|
Pr(X=k) (probabilitas untuk panggilan telepon sejumlah k)
|
|
0
|
0.006
|
|
1
|
0,033
|
|
2
|
0,084
|
|
3
|
0,140
|
|
4
|
0,175
|
|
5
|
0,175
|
|
6
|
0,146
|
|
7
|
0,104
|
|
8
|
0,065
|
|
9
|
0,036
|
|
10
|
0,018
|
|
11
|
0,008
|
|
12
|
0,003
|
Cara menentukan Pr(X=k) adalah dengan menggunakan rumus percobaan
distribusi poisson
. Dimana diketahui
k=0 maka
k=1 maka
Lakukan hal yang sama sampai k=12, maka akan
mendapatkan hasil seperti di tabel.
Adapun gambar grafik dari hasil diatas yakni
C. APLIKASI LAIN DISTRIBUSI POISSON
Penggunaan lain dari distribusi poisson adalah
menyajikan pendekatan distribusi binomial. Anggaplah kita mempunyai distribusi
binomial dimana n berukuran sangat besar dan np moderat (tidak terlalu besar
dan tidak terlalu kecil).
Perhitungan
probabilitas keberhasilan sejumlah i dengan menggunakan fungsi kepekatan binomial tidak
dapatdikontro. Jika=np,makafungsi
kepekatan binomial dapat didekati oleh distribusi poisson:
Contoh :
Kita mempunyai 500 orang
pelajar yang masing-masing mempunyai probabilitas 0.00002 melakukan kecurangan dalarn ujian akhir. Hitunglah probabilitas
keberhasilannya.
Penyelesaian :
DISTRIBUSI NORMAL
A. PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi
probabilitas yang penting dalam analisis statistika. Peubah acak pada distribusi normal merupakan peubah
acak yang kontinu, dimana distribusinya tersebut berbentuk lonceng. Distribusi
normal disebut juga dengan Distribusi Gauss. Distribusi ini memiliki parameter berupa mean dan
simpangan baku. Distribusi normal dengan mean = 0 dan simpangan
baku = 1 disebut dengan distribusi normal standar. Apabila
digambarkan dalam grafik, kurva distribusi normal berbentuk seperti genta (bell-shaped)
yang simetris. Perhatikan kurva distribusi normal standar berikut:
Sumbu X (horizontal) memiliki range (rentang) dari minus
takhingga (‒∞) hingga positif takhingga (+∞). Kurva normal memiliki puncak pada X =
0. Perlu diketahui bahwa luas kurva normal
adalah satu (sebagaimana konsep probabilitas).
B. KARAKTERISTIK KURVA DISTRIBUSI NORMAL
Karakteristik dari kurva
distribusi normal adalah:
- Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)
- Kurva berbentuk simetris
- Kurva normal berbentuk asimptotis
- Kurva mencapai puncak pada saat X= m
- Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
C. FUNGSI DENSITAS DISTRIBUSI NORMAL
Fungsi densitas distribusi normal
diperoleh dengan persamaan sebagai berikut
Keterangan :
2,7183
rata-rata
simpangan baku,
Persamaan di atas bila dihitung dan
diplot pada grafik akan terlihat seperti pada gambar dibawah ini.
Berdasarkan grafik diatas, didapatkan bahwa sifat-sifat penting
distribusi normal adalah sebagai berikut:
1. Grafiknya
selalu berada di atas sumbu x
2.
Bentuknya simetris pada x = µ
3.
Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x
= µ
4.
Luas grafiknya sama dengan satu unit
persegi, dengan rincian
- Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ
- Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ
- Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ
DAFTAR PUSTAKA
(2013, juli). Dipetik oktober 16, 2016, dari
http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rumus-distribusi-normal-distribusi-gauss.html
(2015, februari 01).
Dipetik oktober 16, 2016, dari
https://yos3prens.wordpress.com/2015/02/01/distribusi-binomial/
gunadarma. (t.thn.).
Dipetik oktober 16, 2016, dari e-learning:
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistika_untuk_ekonomi_dan_bisnis/bab7_distribusi_binomial_poisson_dan_hipergeometrik.pdf
khoirilngeblog. (2011, januari 02). Dipetik oktober 16, 2016, dari
wordpress:
https://khoirilngeblog.files.wordpress.com/2011/01/2-distribusi-binomial.pdf
