Kombinasi,Permutasi, dan Peluang

MAKALAH STATISTIKA DASAR

KOMBINASI, PERMUTASI, DAN PELUANG

Disusun Oleh:

KELOMPOK 12

Nur Amalia Susanti       (06081181520025)

Rani S. S. Silitonga        (06081181520079)

Renni Juli Yanna            (06081181520076)

Dosen Pengampu :

Prof.Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si (196908141993022001)

Puji Astuti, S.Pd.,M.Sc

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmatnya, sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Penulisan makalah mengenai Konsep Dasar Statistika ini kami buat dimaksudkan untuk melengkapi tugas mata kuliah Statistika Dasar. Yang mana isi makalah ini kami ambil dari beberapa buku dengan sumber yang ada dan kami anggap relevan.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, karena masih banyak kekurangan baik dari isi maupun dari segi penulisannya.Oleh karena itu, kritik dan saran yang mengarah pada perbaikan makalah ini sangat kami harapkan. Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Inderalaya, 9 Oktober 2016

Penyusun

Daftar Isi

KATA PENGANTAR. i

Daftar Isi ii

A. Kombinasi 1

B. Permutasi 2

1. Permutasi dengan beberapa objek yang sama. 2

2. Permutasi Siklis (Melingkar). 3

C. Peluang. 4

1. Pengertian percobaan, kejadian, titik, dan ruang sampel 4

2.  Peluang kejadian berbagai situasi 5

a. Peluang komplemen suatu kejadian. 5

b. Frekuensi harapan. 6

3. Peluang kejadian majemuk. 6

a. Kejadian tidak saling lepas. 7

b. Kejadian saling lepas. 8

c. Kejadian saling bebas. 8

d. Kejadian tidak saling bebas. 9

DAFTAR PUSTAKA.. 10

A. Kombinasi

Perhatikan uraian berikut!

Untuk pengibaran bendera dibutuhkan 3 orang murid. Ada 5 orang calon yang sudah terlatih, A, B, C, D, dan E. Ada berapa macam susunan pengibar peserta dapat disusun dari kelima calon itu?

Dari kelima calon itu dapat dibentuk susunan ABC,ABD, ABE,ACD, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE. Urutan pada susunan seperti ini tidak penting (tidak diperhatikan), misalnya susunan ABC boleh juga disebut ACB atau BCA. Jadi, yang membedakan suatu susunan dengan susunan lainnya adalah perbedaan unsur-unsurnya (objek-objeknya). Susunan seperti di atas disebut kombinasi dari 5 objek, yaitu, A, B, C, D, dan E yang setiap kali diambil 3 unsur ditulis dengan ₅C₃ atau . Pada contoh ini ada 10 susunan yang berbeda.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:

nCr =

Kombinasi adalah suatu susunan objek-objek dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutan dari objek-objek terebut.[1] Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis dengan _nC_r atau  adalah:

Contoh:

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang yang akan dipilih dari 12 pemain. Dengan berapa macam cara susunan pemain itu dapat dipilih?

Penyelesaian:

Susunan tersebut adalah kombinasi 5 objek dari 12 objek sebab urutannya tidak diperhatikan.

₁₂C₅ =

Jadi, banyaknya cara untuk memilih 5 pemain dari 12 pemain adalah 792 cara.

B. Permutasi

Ada himpunan huruf, yaitu {a, b, c}. huruf-huruf tersebut dapat disusun dengan urutan-urutan yang berbeda-beda.

Contoh:

a. susunan terdiri dari 3 huruf, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, dan cba.

b. susunan terdiri dari 2 huruf, yaitu, ab, ba, ac, ca, bc, dan cb.

Susunan huruf tersebut, baik 3 huruf maupun 2 huruf dinamakan permutasi dari a, b, dan c. Secara umum dikatakan bahwa Permutasi dari sekumpulan objek adalah susunan yang berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya.[2]Permutasi untuk contoh (a) disebut permutasi tiga-tiga objek dilambangkan dengan ₂P₃ sedangkan permutasi untuk contoh (b) disebut permutasi dua-dua dari 3 objek, dilambangkan ₂P₂. Banyaknya permutasi r objek yang disusun dari n objek dinotasikan dengan _nP_r atau  yang dirumuskan sebagai berikut:

nPr = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)....(n – r + 1) atau nPr =

 

1. Permutasi dengan beberapa objek yang sama

Dengan beberapa cara huruf pada kata ABA dapat disusun? Susunan huruf itu adalah ABA, AAB, dan BAA. Jadi, ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, yaitu _nP_r maka akan didapatkan 6 cara, ₃P₂ = 3! = 3  2  1 = 6 (dengan membedakan kedua huruf AA). Misalnya, huruf A dibedakan menjadi A1 dan A2, maka diperoleh susunan A₁BA₂, A₁A₂B, BA₁A₂, A₂A₁B, BA₂A₁, A₂BA₁.

Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada 3 susunan yang sama, yaitu:

A₂BA₁  = A₁BA₂

A₁A₂B  = A₂A₁B

BA₁A₂  = BA₂A₁

Sehingga terdapat hanya 3 susunan.

₃P₂ =  =

Dari uraian di atas dapat disumpulkan sebagai berikut:

nPx =

a. Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (x < n) adalah

n

b. Banyaknya permutasi dari n objek, di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang sama serta m3 objek yang sama, dan seterusnya adalah:

2. Permutasi Siklis (Melingkar)

C B          A

A C          B

B A         C

Perhatikan gambar berikut! A, B, dan C disusun melingkar.

Jika urutan itu dipandang searah jarum jam maka susuna ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Jika dipandang urutannya berlawanan arah jarum jam maka susunannya CBA, BAC, dan ACB adalah sama. Sehingga, banyaknya permutasi dari 3 objek =

Jadi, 2 susunan yang berbeda adalah ABC dan ACB. Permutasi di atas adalah permutasi siklis, yaitu permutasi yang disusun melingkar.

Sekarang misalkan terdapat 4 objek, perhatikan gambar!

 Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi dari 4 objek adalah  berarti banyaknya susunan yang berbeda adalah 3! = 3

Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n – 1)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Contoh:

Rini memiliki lima bunga sepatu yang akan ditanam secara melingkar. Banyaknya susunan bunga tersebut adalah?

Penyelesaian:

Dik: n = 5

Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (5 – 1)! = 4! = 4

Jadi, banyaknya susunan bunga sepatu yang akan ditanam secara melingkar adalah sebanyak 24 cara.

C. Peluang

P (E) =

Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E didefinisikan sebagai perbandingan antara banyaknya kejadian yang diharapkan yang merupakan anggota E dengan banyaknya seluruh kejadian yang mungkin terjadi yang merupakan anggota S (ruang sampel), dapat ditulis:[3]

                       

Keterangan:

P (E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses

n(E)  = banyaknya anggota kejadian E

n(S)  = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang mungkin terjadi).

1. Pengertian percobaan, kejadian, titik, dan ruang sampel

Misalnya:

Pada kegiatan pelemparan sebuah dadu sisi enam, akan dihasilkan enam kemungkinan munculnya mata dadu. Kemungkinan-kemungkinan itu disajikan sebagai berikut.

Kegiatan melempar dadu disebut dengan percobaan. Enam kemungkinan hasil seperti yang disajikan pada gambar tersebut adalah semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Hasil munculnya mata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah titik-titik sampel. Jadi titik sampel adalah semua hasil yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan.[4] Ruang Sampel (S) adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah titik-titik sampel.[5] Adapun yang menjadi ruang sampel dari hasil pelemparan sebuah dadu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Kejadian (E) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Pada percobaan pelemparan satu buah dadu sisi enam kejadian-kejadiannya adalah

– {1} merupakan kejadian muncul mata dadu 1.

– {2} merupakan kejadian muncul mata dadu 2.

– {3} merupakan kejadian muncul mata dadu 3.

– {4} merupakan kejadian muncul mata dadu 4.

– {5} merupakan kejadian muncul mata dadu 5.

– {6} merupakan kejadian muncul mata dadu 6.

2.  Peluang kejadian berbagai situasi

a. Peluang komplemen suatu kejadian

P(E’) = 1 – P(E)

Peluang munculnya mata dadu 4 pada pelemparan suatu dadu sebanyak satu kali adalah , sedangkan peluang munculnya selain mata dadu 4 adalah . Peluang munculnya mata dadu selain 4 merupakan peluang komplemen dari peluang munculnya mata dadu 4. Jika peluang kejadian E adalah P(E) maka peluang kejadian bukan E (peluang komplemen dari E) adalah 1 – P(E) yang dinotasikan dengan P(E’).

Jadi,

Contoh:

Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge. Berapa peluang terambil bukan kartu As?

Penyelesaian:

Seperangkat kartu bridge memiliki 52 macam kartu, diantaranya terdapat 4 jenis kartu As yang berbeda. Peluang terambilnya kartu As adalah P(E) =  sehingga, peluang terambilnya kartu yang bukan kartu As adalah

P(E’) = 1 – P(E) = 1 -

Jadi, peluang terambil bukan kartu As adalah .

b. Frekuensi harapan

Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian antara berapa kali percobaan dilakukan dengan peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan, ditulis dengan: [6]

fh (E) = n  P(E)

 

Contoh:

Peluang mendapat penyakit kanker untuk seorang perokok adalah 0,4. Dari 1.000 orang perokok, Berapa orang kira-kira yang tidak mendapat serangan kanker?

Penyelesaian:

P(E)     = 0,4

P(E’)    = 1 – P(E)

            = 1 – 0,4

            = 0,6

f_h (E)    = 0,6  1.000 = 600

Jadi, dari 1.000 orang perokok diperkirakan 600 orang yang tidak mendapat serangan kanker.

3. Peluang kejadian majemuk

Duah buah atau lebih kejadian dapat digabungkan menjadi satu kejadian dengan menggunakan operasi antarhimpunan. Gabungan dua buah atau lebih kejadian tersebut dinamakan kejadian majemuk.[7]

            Operasi antarhimpunan yang dimaksud adalah:

a. operasi gabungan yang dilambangkan dengan , dibaca: atau;

b. operasi irisan yang dilambangkan dengan , dibaca: dan.

 

a. Kejadian tidak saling lepas

Kejadian tidak saling lepas A dan B berlaku:

P(A

           

Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 10 lembar kartu yang sama, diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil selembar kartu, berapakah peluang terambilnya kartu yang bernomor ganjil atau prima?

Penyelesaian:

Dari sebuah kotak berisi 10 lembar kartu yang sama yang diberi nomor 1 sampai 10, diambil selembar kartu.

S = { 1, 2, 3, . . . , 10}

Misalkan: A = kejadian terambil kartu yang bernomor ganjil

                B = kejadian terambil kartu yang bernomor prima

Maka:

A = {1, 3, 5, 7, 9}                   n (A) = 5

B = { 2, 3,5, 7}                       n (B) = 4

Anggota A yang juga menjadi anggota B, yaitu

A  B = {3, 5, 7}                    n (

Peluang terambilnya kartu ganjil atau prima adalah

P(A         = P(A) + P(B) – P(

                        =

                        =

=

Jadi, peluang terambilnya kartu bernomor ganjil atau prima pada pengambilan selembar kartu adalah .

b. Kejadian saling lepas

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai anggota yang sama sehingga A dan B merupakan himpunan yang saling lepas. Kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi secara bersamaan.

            Kejadian A dan kejadian B disebut saling lepas apabila A  B = , sehingga  n( A  B) = 0. Jadi, untuk kejadian A dan B yang saling lepas berlaku:

P(A  B) = P(A) + P(B)

 

c. Kejadian saling bebas

P(A  B) = P(A)  P(B)

Kejadian saling bebas dari kejadian A dan kejadian B berlaku:

Di mana kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A.

Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 10 buah bola, 6 buah di antaranya berwarna merah dan yang lainnya berwarna biru. Sebuah bola dimabil, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Setelah itu diambil lagi sebuah bola dari dalam kotak untuk kedua kalinya. Berapakah peluang bola dari terambil pada kedua pengambilan berwarna merah?

Penyelesaian:

A          = kejadian terambil bola berwarna merah pada pengambilan pertama

P(A)     =

B          = kejadian terambil bola berwarna merah pada pengambilan kedua

P(B)     =

A dan B adalah kejadian saling bebas karena terjadinya A tidak memengaruhi terjadinya atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga,

P(A  B)         = P(A)  P(B)

                        =

=

=

Jadi, peluang terambilnya bola berwarna merah pada kedua pengambilan itu adalah .

d. Kejadian tidak saling bebas

P(A  B) = P(A)  P(B/A)

Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling bebas jika terjadi salah satu dari kejadian atau tidak terjadinya dari kejadian itu memengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Untuk kejadian A dan B yang tidak saling bebas berlaku:

Peluang bersyarat P(B/A) artinya peluang terjadinya B setelah A terjadi.

Contoh:

Sebuah kotak berisi 4 buah bola berwarna merah dan 6 buah bola berwarna putih. Jika diambil 2 buah bola berturut-turut dengan tidak pengembalian bola pertama ke dalam kotak, berapakah peluang terambilnya yang pertama bola berwarna merah dan yang kedua bola berwarna putih?

Penyelesaian:

Pengambilan pertama: n(A) = 4, n(S) = 10

Pengambilan kedua: n(B) = 6, n(S) = 9

P(A  B)         = P(A)  P(B/A)

                        =

Jadi, peluang terambilnya bola pertama berwarna merah dan bola kedua berwarna puti adalah .

DAFTAR PUSTAKA

 

Sabandar, J. (2009). Matematika. Jakarta: Bumi Aksara.

Sinaga, B., Pardomuan, K.S, A., & dkk. (2013). Matematika. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

---

[1] Josua Sabandar, Matematika SMA/MA, Bumi Aksara, 2009, Jakarta, hal. 59

[2] Josua Sabandar, Matematika SMA/MA, Bumi Aksara, 2009, Jakarta, hal.55

[3] Josua Sabandar, Matematika SMA/MA, Bumi Aksara, 2009, Jakarta, hal.63

[4] Bornok Sinaga,Pardomuan, dkk, Buku Guru Matematika, Kementrian Pendidikan dan Budaya, 2013, Jakarta, hal. 398

[5] Bornok Sinaga, Buku Guru Matematika, Kementrian Pendidikan dan Budaya, 2013, Jakarta, hal. 398

[6] Josua Sabandar, Matematika SMA/MA, Bumi Aksara, 2009, Jakarta, hal.67

[7] Josua Sabandar, Matematika SMA/MA, Bumi Aksara, 2009, Jakarta, hal.69